高中数学必修二公理条件(数学必修2公理)

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数学中的公理无法被证明,那么公理是如何保证自己是正确的?
别想多了,数学的公理,其实也就只有欧几里得的几何原本开头说的那几条,这些都是不证自明的,除此之外,其他的定理都需要被证明的。至于数学的危机是怎么产生的,比如第一次的数学危机是人们不知道还有无理数的存在,第二次数学危机是没有极限的概念,第三次就是***的概念不完善。但都得到了解决。
应该这样说,公理不应该是“无法被证明”,而是“不需要去证明”,公理推导出定理的基础,是人们经过长期实践总结出来的规律,本身就被大家默认就是正确的,无法被证伪的,本身也是自洽的,也就是说你找不出公理的错误在哪里,既然无法证明是错的,那就是对的!
比如说,最简单的公理,两点之间直线最短,这个我们都知道,这条公理可以说是几何数学的基础,不需要去证明,如果非要证明,仍一根骨头给一只狗,狗会沿着直线去追骨头,狗都知道的道理还用去证明?
更重要的是,你真的找不出两点之间比直线短的方式存在,不信你试试!
同时,逻辑上分析,“试图证明公理是对的”这种想法本身就是错误的,也是不可能的。因为比如说你想证明公理甲,必然会有所依据(***设是依据乙),但你又如何证明依据乙就是正确的呢?你必须找到依据丙去证明依据乙的正确性……,如此无限循环下去!
所以,必然需要有一个不需要证明的公理存在,它是基础,我们也不用公理推论出来的定理去证明公理,这本身就是矛盾的!
很多人解释的都有点问题。公理,它本身就没有对错之分,就更不用谈错误了怎么办。
什么是公理很多人都已经讲过了,我们举几个例子就明白了。
1.比如说经典的连续统***设。
通俗来说,这个***设的问题是:是否存在一个***,它的元素个数比有理数多,比实数少。
这个命题被证明是无法证明对错的。数学家把这个***设分成了“存在”和“不存在”两条公理,各自延伸出来了不同的理论。
所以你看,这两条公理是完全矛盾的,在我们看来总会对一个吧?可事实就是,它们没有对错之分。
2.再举个例子,抽屉原理。
在皮亚诺公理体系下,也就是自然数公理,抽屉原理显然是正确的。可在量子力学里,抽屉原理就是不成立的。但你能说自然数公理有问题吗?恐怕也不能,但到底哪个对呢?好像也没有对错之分。
3.欧氏几何和黎曼几何
这个例子更明显了。欧氏几何里有平行线,黎曼几何里没有。哪个对?也是不分的,都是对的。
所以举这几个例子,想说明的就是,公理不是说它一定对,而是根本不分对错,它只是一种***设罢了。你会怀疑一个***设是对还是错吗?
一个数学系统都是由一整套公理的***组成的,在这个系统之中,公理是基本的规则,其他的规则都是从公理中演绎推导出来的,不能用自己的证明结果再反过来证明自己,因此,公理无法用系统内部的方法证明。公理的证明主要通过检验公理体系是否自洽来实现。所谓自洽有三个原则:
- 无矛盾原则 公理是一套推理规则,公理之间不能推理出相互矛盾的结果。比如,我的矛无坚不摧,我的盾坚不可破,这两条公理相互矛盾,不成体系。
- 相互独立原则 公理之间不能相互关联,也就是说不能从一个公理中推导出其他公理的结果,哪怕是一部分也不可以。比如,广告覆盖了所有的媒体,跟广告覆盖了所有的时段,由于媒体跟时段之间存在相互重合的情况,这两天公理也不成体系。
- 完备性原则 由公理推导出来的结果集应当包含所有的元素。比如,自然数公理系可以推导出全部自然数,不需要添加任何条件。
数学体系中都是通过了以上三原则的证明的,基本上没有问题。但是,有个大牛居然证明了这三个原则本身有矛盾,这就是著名的哥德尔不完全性定理。该定理证明所有的逻辑体系都不可避免地存在矛盾。这个定理确实动摇了整个数学大厦,至今为止还没有人能破解这个难题。不过,在有限公理的范围内,这三个原则还是靠谱的。我们这些凡人大可不必去操那份闲心。
抛开数学,公理体系的运用充斥着我们的生活和工作。您写报告的时候,也应该先按照上面的原则建立起来自己的公理系统,然后再运用逻辑推理的方法推导出结论。这三个原则在管理上叫做MECE原则,中文的意思是相互独立,完全穷尽。
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